Kurs Arithmetica Linearis

Witold Łuczyński

Wstęp

Prezentowana Arithmetica Linearis (metoda liczenia żetonami na stole rachunkowym- abaku), powszechna była w średniowieczu przed początkiem XV-go wieku, czyli przed początkiem upowszechniania się zapisu liczb cyframi arabskimi. Tradycja dokonywania obliczeń na abaku przetrwała znacznie dłużej, lecz zmieniła się technika rachunkowa na podobną do liczenia piśmiennego na cyfrach, wykorzystująca znajomość tabliczki mnożenia.

Umiejętność rachowania na liczbach rzymskich w zakresie dodawania i odejmowania mogła być dość powszechna. Dopiero mnożenie i dzielenie wymagało staranniejszej nauki, a przede wszystkim opanowania całego mnemotechnicznego warsztatu rachmistrza. W przeciwnym wypadku wynik działania mógłby być niepewny.

Rachmistrz, który opanował

  • numeratio – przenoszenie liczby z zapisu piśmiennego liczbami rzymskimi na stół abakowy i zapisywanie wyniku z figury na zapis piśmienny,

oraz osiem operacji:

  • elevatio – ściąganie,
  • resolvatio – rozmienianie,
  • additio – dodawanie,
  • subtractio – odejmowanie,
  • duplatio – podwajanie,
  • mediatio – połowienie,
  • multiplicatio – mnożenie,
  • divisio – dzieleni

i wykonywał je zgodnie ze wskazówkami, dzięki precyzji algorytmu, nie mógł popełnić błędu.

Opanowanie technik rachmistrzowskich było wstępem do wykonywania obliczeń i rozwiązywania problemów matematycznych, m.in. znajdowania radix quadratum i radix qubicum (podstawy kwadratu i sześcianu), liczby łamanej (ułmków), Regula Detri (znajdowanie niewiadomej z proporcji) i innych.

Przedstawiona podstawa Liczenia na liniach jest wynikiem kilkuletnich studiów i eksperymentów przeprowadzonych przez Witolda Łuczyńskiego i członków grupy Cives Glogoviae 1253. Jest to rekonstrukcja zapomnianej metody obliczeń, której algorytm oparty jest na podwajaniu i połowieniu.

Numeratio

Na abaku średniowiecznym prowadzimy obliczenia na liczbach rzymskich, gdzie

  • I oznacza jeden
  • V oznacza pięć
  • X oznacza dziesięć
  • L oznacza pięćdziesiąt
  • C oznacza sto
  • D oznacza pięćset
  • M oznacza tysiąc

Wartość danej liczby jest sumą wartości liter składających się na liczbę.
Przy zapisywaniu liczb rzymskich możliwe jest stosowanie zapisu skróconego polegającego na zapisaniu np. IIII jako IV, CCCC jako CD itp.
Liczby w zapisie rzymskim skróconym np. MCDXLIV zawsze przepisujemy na zapis prosty MCCCCXXXXLIIII.

Obliczenia na liniach rozpoczynamy od przeniesienia liczby na abak.
Na liniach rozkładamy żetony stawiając po jednym żetonie za każdą literę odpowiednio:

  • za I żeton na pierwszej (najniższej) linii
  • za X żeton na drugiej linii
  • za C żeton na trzeciej linii
  • za M żeton na czwartej linii (zaznaczonej krzyżykiem)

Pomiędzy liniami (w spacio) stawiamy:

  • pomiędzy linią I i X żeton za V
  • pomiędzy linią X i C żeton za L
  • pomiędzy linią C i M żeton za D

Po zapisaniu liczby żetonami na abaku przestajemy traktować układ żetonów jako liczbę lecz jako figurę tej liczby. Figurą jest nie tylko układ żetonów całej liczby lecz również jej część lub tylko układ na pojedynczej linii lub w spacio.

Elevatio

Ściąganie wykonuje się w następujący sposób:

  • każde pięć żetonów z linii zamieniamy na jeden żeton w spacio powyżej tej linii,
  • każde dwa żetony w spacio zamieniamy na jeden żeton na linii powyżej tego spacio.

Elevatio należy zaczynać od dołu (najniższej linii).

Resolvatio

Rozmienianie wykonuje się w następujący sposób:

  • jeden żeton z linii zamieniamy na dwa żetony w spacio pod tą linią
  • jeden żeton ze spacio zamieniamy na pięć żetonów na linii pod tym spacio.

Resolvatio należy zaczynać od góry.

Additio

Dodawania wykonuje się następująco:

Rozkładamy żetony figur dodawanych liczb w osobnych kolumnach, następnie zsuwamy razem poziomo zgodnie z liniami i spacio i wykonujemy elewatio zaczynając od dołu (najniższej linii).

Subtractio

Odejmowanie wykonuje się następująco:

Rozkładamy żetony figur odejmowanych liczb i równocześnie z obu figur zabieramy żetony leżące na tym samym poziomie na linii i w spacio. Jeśli na którymś poziomie w liczbie, od której odejmujemy brakuje żetonu wykonujemy resolvatio i kontynuujemy odejmowanie. Odejmowanie jest zakończone gdy zdejmiemy ze stołu ostatni żeton figury liczby, którą odejmujemy.

Duplatio

Podwajanie wykonuje się następująco:

  • jeśli jest jeden żeton na linii – dokładamy drugi,
  • jeśli są dwa żetony na linii – dokładamy następne dwa,
  • jeśli są trzy żetony na linii – jeden zabieramy, drugi przesuwamy w spacio nad tą linią, trzeci pozostawiamy na miejscu,
  • jeśli są cztery żetony na linii – jeden przesuwamy w spacio nad tą linią, pozostałe pozostawiamy na miejscu,
  • jeśli jest żeton w spacio – przesuwamy go na linię powyżej tego spacio.

Duplatio figury obejmującej kilka linii zaczynamy wykonywać od góry.

Mediatio

Połowienie wykonuje się następująco:

  • jeśli jest jeden żeton na linii – przesuwamy go w spacio pod tą linią,
  • jeśli są dwa żetony na linii – zabieramy jeden, drugi pozostawiamy na miejscu,
  • jeśli są trzy żetony na linii – jeden zabieramy, drugi przesuwamy w spacio pod tą linią, trzeci pozostawiamy na miejscu,
  • jeśli są cztery żetony na linii – zabieramy dwa, pozostałe pozostawiamy na miejscu,
  • jeśli jest żeton w spacio – przesuwamy go o jedno spacio niżej i dostawiamy dwa nowe żetony na linię nad tym spacio.

Mediatio figury obejmującej kilka linii zaczynamy wykonywać od dołu.

Multiplicatio

Mnożenie wykonuje się następująco:

W pierwszej i drugiej kolumnie połóż żetony liczb które mnożysz.

Następnie wykonuj:

a) połóż palec lewej ręki na najwyższej linii, na której, lub pod którą, są żetony pierwszej liczby,

b) w trzeciej kolumnie, od linii, którą trzymasz palcem, połóż figurę drugiej liczby

c) wykonuj :

  • jeśli na linii znajduje się jeden żeton – wynik mnożenia to ta sama figura, więc przesuń ją do czwartej kolumny,
  • jeśli na linii znajdują się dwa żetony – wykonaj duplatio, wykonaj elevatio i wynik przesuń do czwartej kolumny,
  • jeśli na linii znajdują się trzy żetony – wykonaj duplatio i dołóż figurę mnożonej liczby, wykonaj elevatio i przesuń do czwartej kolumny,
  • jeśli na linii znajdują się cztery żetony – wykonaj duplatio i duplatio tego co wyszło, wykonaj elevatio i wynik przesuń do czwartej kolumny,
  • jeśli w spacio pod linią jest żeton – wykonaj mediatio i wynik przesuń do czwartej kolumny.

d) przesuń palec na niższą linię i wykonuj tak samo jak powyżej, z tym, że wynik przesuwany do czwartej kolumny dodawaj za każdym razem do tego co tam jest i wykonuj elevatio.

Divisio

Dzielenie wykonuje się następująco:

W pierwszej kolumnie połóż żetony liczby, którą dzielisz, w drugiej liczby, przez którą dzielisz.

W trzeciej kolumnie połóż ponownie figurę liczby, którą dzielisz.

Następnie odejmuj od niej liczbę, przez którą dzielisz. Za każde odjęcie pojedyncze połóż jeden żeton w czwartej kolumnie na linii jedności, za odjęcie jej pięciokrotności żeton za piątkę, za odjęcie dziesięciokrotności jeden żeton na dziesiątkę i podobnie dla wyższych krotności.

Jeśli w figurze liczby dzielonej nie widać figury liczby, przez którą dzielisz, pomagaj sobie wykonując resolvatio.

Odejmuj aż w figurze liczby dzielonej nie da się już wydzielić ani jednej figury liczby, przez którą dzielisz. Wtedy zapisz to jako resztę, albo przelicz na mniejsze części (np. uncje) i dziel dalej, ale pamiętaj aby zapisać wynik w tych częściach.

Na zakończenie pragnę przypomnieć, że powyższa metoda rachunkowa funkcjonowała w czasach przed upowszechnieniem się cyfry arabskiej i związanej z nią nowożytnym sposobem wykonywania obliczeń tzw. metodą piśmienną. Dla pełnego odczucia zalet tej metody najlepiej postarać się na chwilę zapomnieć o tabliczce mnożenie i elektronicznym kalkulatorze.

Witold Łuczyński (Mistrz Witold), Głogów 2014